Сибирский федеральный университет

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2022

Идентификатор DOI: 10.33048/smzh.2022.63.107

Ключевые слова: nil-triangular subalgebra, nonfinitary generalizations, radical ring, associated Lie ring, adjoint group, automorphism group, Local automorphism, нильтреугольная подалгебра, нефинитарные обобщения, радикальное кольцо, ассоциированное кольцо Ли, присоединенная группа, группа автоморфизмов, локальный автоморфизм

Аннотация: Пусть $\Gamma$ - линейно упорядоченное множество (цепь) и $K$ - ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Исследуются модуль всех матриц над $K$ с индексами из $\Gamma$ и подмодуль $NT({\Gamma},K)$ всех матриц с нулями на и над главной диагональю. Все финитарные матрицы из $NT({\Gamma},K)$ образуют ниль-кольцо. Автоморфизмы его присоединенной группы (в частности, группы Адо и Маклейна) описаны ранее, когда $K$ - кольцо без делителей нуля. Они зависят от группы ${\Cal A}(\Gamma)$ всех автоморфизмов и антиавтоморфизмов цепи $\Gamma$. Доказано, что $NT({\Gamma},K)$ - алгебра с обычным матричным умножением тогда и только тогда, когда либо (а) $\Gamma$ изометрична или антиизометрична цепи натуральных чисел и ${\Cal A}(\Gamma)=1$, либо (b) $\Gamma$ изометрична цепи целых чисел и ${\Cal A}(\Gamma)$ - бесконечная диэдральная группа. Каждая такая алгебра радикальна, но не является ниль-кольцом. Когда $K$ - область целостности, найдены группы автоморфизмов кольца ${\Cal R}=NT({\Gamma},K)$, ассоциированного кольца Ли $L({\Cal R})$ и присоединенной группы $G({\Cal R})$ (теорема 3). Для случая (a) все три группы автоморфизмов совпадают. В основном случае (b) группа $\operatorname{Aut}{\Cal R}$ имеет более сложное строение, а ее индекс в каждой из групп $\operatorname{Aut} L({\Cal R})$ и $\operatorname{Aut}G({\Cal R})$ равен двум. Как следствие доказано, что всякий локальный автоморфизм алгебр ${\Cal R}$ и $L({\Cal R})$ действует по модулю ${\Cal R} Let $\Gamma$ be a linearly ordered set (chain), and let $K$ be an associative commutative ring with a unity. We study the module of all matrices over $K$ with indices in $\Gamma$ and the submodule $NT({\Gamma},K)$ of all matrices with zeros on and above the main diagonal. All finitary matrices in $NT({\Gamma},K)$ form a nil-ring. The automorphisms of the adjoint group (in particular, Ado's and McLain's groups) were already described for a ring $K$ with no zero divisors. They depend on the group ${\Cal A}(\Gamma)$ of all automorphisms and antiautomorphisms of $\Gamma$. We show that $NT({\Gamma},K)$ is an algebra with the usual matrix product iff either {(a)} $\Gamma$ is isometric or anti-isometric to the chain of naturals and ${\Cal A}(\Gamma)=1$ or {(b)} $\Gamma$ is isometric to the chain of integers and ${\Cal A}(\Gamma)$ is the infinite dihedral group. Any of these algebras is radical but not a nil-ring. When $K$ is a domain, we find the automorphism groups of the ring ${\Cal R}=NT({\Gamma},K)$ of the associated Lie ring $L({\Cal R})$ and the adjoint group $G({\Cal R})$ (\Par{T3}{Theorem 3}). All three automorphism groups coincide in case {(a)}. In the main case {(b)} the group $\operatorname{Aut}{\Cal R}$ has more complicated structure, and the index of each of the groups $\operatorname{Aut} L({\Cal R})$ and $\operatorname{Aut}G({\Cal R})$ is equal to $2$. As a consequence, we prove that every local automorphism of the algebras ${\Cal R}$ and $L({\Cal R})$ is a fixed automorphism modulo ${\Cal R}

Журнал: Сибирский математический журнал

Выпуск журнала: Т.63, №1

Номера страниц: 104-115

ISSN журнала: 00374474

Место издания: Новосибирск

Издатель: Сибирское отделение РАН, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

• Зотов Игорь Николаевич (Сибирский федеральный университет)
• Левчук Владимир Михайлович (Сибирский федеральный университет)

• Ядро РИНЦ (eLIBRARY.RU)