Сибирский федеральный университет

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2024

Идентификатор DOI: 10.4213/mzm14048

Ключевые слова: special and projective special linear groups, ring of Gaussian integers, generating triplet of involutions, специальная и проективная специальная линейные группы, кольцо целых гауссовых чисел, порождающие тройки инволюций

Аннотация: Мы завершаем решение задачи о существовании порождающих троек инволюций, две из которых перестановочны, для специальной $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ и проективной специальной $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел. Ответ был неизвестен только для $\mathrm{SL}_5$, $\mathrm{PSL}_6$ и $\mathrm{SL}_{10}$. Мы указываем явно такие порождающие тройки инволюций в этих трех случаях, причем в доказательстве существенно используем компьютерные вычисления. Учитывая известные результаты по рассматриваемой задаче, в качестве следствия получаем два следующих утверждения. Группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ (соответственно $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$) тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда $n\geqslant 5$ и $n\neq 6$ (соответственно когда $n\geqslant 5$).Библиография: 8 названий. We complete the solution of the problem on the existence of generating triplets of involutions two of which commute for the special linear group $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ and the projective special linear group $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ over the ring of Gaussian integers. The answer has only been unknown for $\mathrm{SL}_5$, $\mathrm{PSL}_6$, and $\mathrm{SL}_{10}$. We explicitly indicate the generating triples of involutions in these three cases, and we make a significant use of computer calculations in the proof. Taking into account the known results for the problem under consideration, as a consequence, we obtain the following two statements. The group $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ ($\mathrm{PSL}_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$, respectively) is generated by three involutions two of which commute if and only if $n\geqslant 5$ and $n\neq 6$ (if $n\geqslant 5$, respectively).

Журнал: Математические заметки

Выпуск журнала: Т.115, №3

Номера страниц: 317-329

ISSN журнала: 0025567X

Место издания: Москва

Издатель: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Российская академия наук

• Всемирнов Максим Александрович (Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук)
• Гвоздев Родион Игоревич (Сибирский федеральный университет)
• Нужин Яков Нифантьевич (Сибирский федеральный университет)
• Шаипова Татьяна Борисовна (Красноярский научный центр СО РАН)

• Ядро РИНЦ (eLIBRARY.RU)