Сибирский федеральный университет

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2021

Идентификатор DOI: 10.31772/2712-8970-2021-22-4-624-635

Ключевые слова: elasticity, composites, adjusted strength conditions, fictitious discrete models, multigrid finite elements, упругость, композиты, скорректированные условия прочности, фиктивные дискретные модели, многосеточные конечные элементы

Аннотация: Для анализа напряженно-деформированного состояния однородных и композитных тел (КТ) эффективно применяется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ), в котором используются многосеточные конечные элементы (МнКЭ). ММКЭ порождает многосеточные дискретные модели малой размерности, в которых неоднородная структура тел учитывается в рамках микроподхода с помощью МнКЭ. Базовые дискретные модели (БМ), учитывающие неоднородную структуру тел, имеют высокую размерность. Для понижения размерности дискретных моделей тел используется ММКЭ. Однако, существуют БМ КТ (например, БМ тел с микронеоднородной структурой), которые имеют такую высокую размерность, что реализация ММКЭ для таких БМ, в силу ограниченности ресурсов ЭВМ, затруднительна. Кроме того, для многосеточных дискретных моделей высокой размерности ММКЭ порождает численно неустойчивые решения, что связано с погрешностью вычислений ЭВМ. Для решения данных проблем здесь предлагается в расчетах использовать фиктивные дискретные модели, особенность которых состоит в том, что их размерности меньше размерностей БМ КТ. В данной работе предлагается метод фиктивных дискретных моделей (МФДМ) для расчета на статическую прочность упругих композитных тел с неоднородной, микронеоднородной регулярной структурой. МФДМ реализуется с помощью ММКЭ с применением скорректированных условий прочности, которые учитывают погрешность приближенных решений. В основе МФДМ лежит положение, что решения, отвечающие БМ КТ, мало отличаются от точных, т. е. эти решения считаем точными. Расчет КТ по МФДМ сводится к построению и расчету на прочность фиктивных дискретных моделей (ФМ), которые обладают следующими свойствами. ФМ отражают форму, характерные размеры, крепление, нагружение и вид неоднородной структуры КТ, распределение модулей упругости, отвечающее БМ КТ. Размерности ФМ меньше размерности БМ КТ. Последовательность, состоящая из ФМ, сходится к БМ, т. е. предельная ФМ совпадает с БМ. Как показывают расчеты, сходимость такой последовательности обеспечивает равномерную сходимость максимальных эквивалентных напряжений ФМ к максимальному эквивалентному напряжению БМ КТ, что позволяет применять такие ФМ в расчетах упругих тел на прочность. Рассматриваются два типа ФМ. Первый тип - масштабированные ФМ, второй - ФМ с переменными характерными размерами. В данной работе подробно рассматриваются ФМ второго типа. Расчеты показывают, что реализация ММКЭ для ФМ с одним, двумя или тремя переменными характерными размерами приводит к большой экономии ресурсов ЭВМ, что позволяет использовать МФДМ для тел с микронеоднородной регулярной структурой. Расчеты на прочность КТ по МФДМ требуют в 10³ ¸ 10⁷ раз меньше объема памяти ЭВМ, чем аналогичный расчет с использованием БМ КТ, и не содержат процедуру измельчения БМ. Приведенный пример расчета на прочность трехмерной композитной балки по МФДМ с применением ФМ с тремя переменными характерными размерами показывает его высокую эффективность. To analyze the stress-strain state of homogeneous and composite bodies (CB), the method of multigrid finite elements (MMFE) is effectively used, which uses multigrid finite elements (MgFE). MMFE generates multigrid discrete models of small dimension, in which the inhomogeneous structure of bodies is taken into account within the framework of a micro-approach using MgFE. Basic discrete models (BM), taking into account the heterogeneous structure of bodies, have a high dimension. To reduce the dimensionality of discrete models of bodies, MMFE is used. However, there are BM CB (for example, BM bodies with a microhomogeneous structure), which have such a high dimension that the implementation of MMFE for such BM, due to limited computer resources, is difficult. In addition, for multigrid discrete models of high dimension, the MMFE generates numerically unstable solutions, which is associated with the error of computer calculations. To solve these problems, it is proposed here to use fictitious discrete models in calculations, the peculiarity of which is that their dimensions are smaller than the dimensions of BM CB. In this paper, we propose a method of fictitious discrete models (MFDM) for calculating the static strength of elastic composite bodies with an inhomogeneous, microomogeneous molecular structure. MFDM is implemented using MMFE using adjusted strength conditions that take into account the error of approximate solutions. The MFDM is based on the position that the solutions that meet the BM CB differ little from the exact ones, i. e. we consider these solutions to be accurate. The calculation of CB by MFDM is reduced to the construction and calculation of the strength of fictitious discrete models (FM), which have the following properties. FM reflect: the shape, characteristic dimensions, fastening, loading and type of inhomogeneous structure of the CB, and the distribution of elastic modulus corresponding to BM CB. The dimensions of FM are smaller than the dimensions of BM CB. The sequence consisting of FM converges to BM, i. e. the limiting FM coincides with BM. Calculations show that the convergence of such a sequence ensures uniform convergence of the maximum equivalent stresses of the FM to the maximum equivalent stress of the BM CB, which allows the use of such FM in the calculations of elastic bodies for strength. Two types of FM are considered. The first type is scaled FM, the second type is FM with variable characteristic sizes. In this paper, the FM of the second type is considered in detail. Calculations show that the implementation of MMFE for FM with one, two or three variable characteristic sizes leads to a large saving of computer resources, which allows the use of MFDM for bodies with a micro-homogeneous regular structure. Calculations for the strength of CB according to MFDM require several times less computer memory than a similar calculation using BM CB, and does not contain a procedure for grinding BM. The given example of calculating the strength of a three-dimensional composite beam according to MFDM using FM with three variable characteristic dimensions shows its high efficiency.

Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал

Выпуск журнала: Т. 22, № 4

Номера страниц: 624-635

ISSN журнала: 27128970

Место издания: Красноярск

Издатель: Сибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М.Ф. Решетнева

• Матвеев А.Д. (Институт вычислительного моделирования СО РАН)

• РИНЦ (eLIBRARY.RU)
• Список ВАК