Сибирский федеральный университет

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2019

Идентификатор DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-184-188

Ключевые слова: генетические коды, графы и группы Кокстера, группы Вейля, группы с 3-транспозициями, симплектические трансвекции, genetic codes, Coxeter groups and graphs, Weyl groups, 3-transposition groups, Symplectic transvections, genetic code, Coxeter group, Coxeter graph, Weyl group, 3-transposition group, symplectic transvection

Аннотация: Группы Кокстера имеют многочисленные приложения в математике и за ее пределами, а группы с 3- транспозициями Б. Фишера лежат в основе внутреннего геометрического анализа теории конечных (простых) групп. Пересечение этих классов групп состоит из конечных групп Вейля W(An) ≃ Sn+1, W(Dn), W(En) (n = 6, 7, 8) простых конечномерных алгебр и групп Ли. В предыдущих работах А. И. Созутова, А. А. Кузнецова и автора были найдены системы S порождающих трансвекций (3-транспозиций) групп Sp2m(2) и O ± 2m(2), графы Γ(S) которых являются деревьями. Множество {Γn} (n ≥ m) вложенных друг в друга графов называем E-серией, если они являются деревьями, содержат подграф E6 и их подграфы с вершинами m, m + 1, . . . , n являются простыми цепями. В настоящей работе найдены генетические коды групп Sp2m(2) и O ± 2m(2), 8 ≤ 2m ≤ 20, близкие к генетическим кодам некоторых групп Кокстера. Основная гипотеза исследований: группы Sp2m(2) и O ± 2m(2) (пп. (ii)-(iii) в теореме Фишера) можно получить из соответствующих бесконечных групп Кокстера с помощью одного или двух дополнительных соотношений вида w2 = 1. Рассматриваемые в работе графы In содержат подграф E6 и составляют E-серию вложенных графов {In | n = 7, 8, . . .}, в которых подграф In \ E6 - простая цепь. В работе доказано, что для групп X(In), полученных из групп Кокстера G(In) наложением дополнительного соотношения (s t 4 s7) 2 = 1, где t = s3s2s1s5s6s3s2s5s3s4, при указанных пределах изменения n = 4k+δ (δ = 0, 1, 2) имеют место изоморфизмы X(I4k+1) ≃ Sp4k(2) × Z2, X(I2m) ≃ O ± 2m(2) (знак ± зависит от m). В доказательстве используется алгоритм Тодда - Кокстера системы GAP. Coxeter groups have numerous applications in mathematics and beyond, and B. Fischer’s 3-transposition groups underly the internal geometric analysis in the theory of finite (simple) groups. The intersection of these classes of groups consists of finite Weyl groups W(An) ≃ Sn+1, W(Dn), and W(En) for n = 6, 7, 8, simple finite-dimensional algebras, and Lie groups. In previous papers by A. I. Sozutov, A. A. Kuznetsov, and the author, systems S of generating transvections (3-transpositions) of groups Sp2m(2) and O ± 2m(2) were found such that the graphs Γ(S) are trees. A set {Γn}, n ≥ m, of nested graphs is called an E-series if these graphs are trees, contain the subgraph E6, and their subgraphs with vertices m, m + 1, . . . , n are simple chains. In the present paper, we find genetic codes of the groups Sp2m(2) and O ± 2m(2), 8 ≤ 2m ≤ 20; these codes are close to the genetic codes of some Coxeter groups. Our main hypothesis is the following: the groups Sp2m(2) and O ± 2m(2) (cases (ii)-(iii) in Fischer’s theorem) can be obtained from the corresponding infinite Coxeter groups with the use of one or two additional relations of the form w2 = 1. The graphs In considered in this paper contain the subgraph E6 and comprise an E-series of nested graphs {In | n = 7, 8, . . .}, in which the subgraph In \ E6 is a simple chain. We prove that the isomorphisms X(I4k+1) ≃ Sp4k(2) × Z2 and X(I2m) ≃ O ± 2m(2) (the sign ± depends on m) hold for the groups X(In) obtained from the Coxeter groups G(In) by imposing an additional relation (s t 4 s7) 2 = 1, where t = s3s2s1s5s6s3s2s5s3s4, if n = 4k + δ (δ = 0, 1, 2). The proof uses the Todd-Coxeter algorithm from the GAP system.

Журнал: Труды института математики и механики УрО РАН

Выпуск журнала: Т. 25, № 4

Номера страниц: 184-188

ISSN журнала: 01344889

Место издания: Екатеринбург

Издатель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук

• Синицин Владимир Михайлович (Сибирский федеральный университет)
• Созутов А.И., рец. (Сибирский федеральный университет)

• Web of Science Core Collection
• Scopus
• Ядро РИНЦ (eLIBRARY.RU)
• Список ВАК