Детерминанты как комбинаторные формулы суммирования над алгеброй с единственной n-арной операцией : научное издание | Научно-инновационный портал СФУ

Детерминанты как комбинаторные формулы суммирования над алгеброй с единственной n-арной операцией : научное издание

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2018

Идентификатор DOI: 10.26516/1997-7670.2018.26.121

Ключевые слова: детерминанты и перманенты, некоммутативные и мультиоператорные алгебры, теоремы поляризации и включения-исключения, квантовый компьютер, determinants and permanents, noncommutative and multioperator algebras, polarization and inclusion-conclusion theorems, quantum computers

Аннотация: С конца 1980-х гг. автор опубликовал серию результатов по матричным функциям, полученным с помощью производящих функций, смешанных дискриминантов (смешанных объёмов в Rn), и известной теоремы поляризации (ее формулировка в наибольшей общности приведена в журнале «Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика» в 2017 г.). Эта теорема позволяет получать для полиаддитивной и симметрической функции множество вычислительных формул (полиномиальных тождеств), содержащих семейство свободных переменных. В 1979-1980 гг. автор получил первое полиномиальное тождество для перманентов над коммутативным кольцом, а в 2013 г. полиномиальное тождество нового типа для детеминантов над некоммутативным кольцом с ассоциативными степенями. В заметке дано общее определение функции детерминанта, названного автором e-детерминантом над алгеброй с единственной n-арной f-операцией. Это определение отлично от хорошо известного определения некоммутативного детерминанта Гельфанда. Показано, что при естественных ограничениях на f-операцию e-детерминант сохраняет основные свойства классического детерминанта над полем R. Получено семейство полиномиальных тождеств для e-детерминантов. В заключении автор выражает уверенность, что представляет интерес получение подобных полиномиальных тождеств для функций Шура, смешанных дискриминантов, результантов и других матричных функций над различными алгебраическими системами. Особенно интересен, по его мнению, ответ на следующий вопрос: для каких n-арных f-операций возможно быстрое вычисление e-детерминантов с помощью квантовых компьютеров? Since the late 1980s the author has published a number of results on matrix functions, which were obtained using the generating functions, mixed discriminants (mixed volumes in Rn), and the well-known polarization theorem (the most general version of this theorem is published in ”The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics” in 2017). The polarization theorem allows us to obtain a set of computational formulas (polynomial identities) containing a family of free variables for polyadditive and symmetric functions. In 1979-1980, the author has found the first polynomial identity for permanents over a commutative ring, and, in 2013, the polynomial identity of a new type for determinants over a noncommutative ring with associative powers. In this paper we give a general definition for determinant (the e-determinant) over an algebra with a unique n-ary f-operation. This definition is different from the well-known definition of the noncommutative Gelfand determinant. It is shown that under natural restrictions on the f-operation the e-determinant keeps the basic properties of classical determinants over the field R. A family of polynomial identities for the e-determinants is obtained. We are convinced that the task of obtaining similar polynomial identities for Schur functions, the mixed determinants, resultants and other matrix functions over various algebraic systems is quite interesting. And an answer to the following question is especially interesting: for which n-ary f-operations a fast quantum computers based calculation of e-determinants is possible? Since the late 1980s the author has published a number of results on matrix functions, which were obtained using the generating functions, mixed discriminants (mixed volumes in R-n), and the well-known polarization theorem (the most general version of thi Since the late 1980s the author has published a number of results on matrix functions, which were obtained using the generating functions, mixed discriminants (mixed volumes in R-n), and the well-known polarization theorem (the most general version of thi

Ссылки на полный текст

Издание

Журнал: Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика

Выпуск журнала: Т. 26

Номера страниц: 121-127

ISSN журнала: 19977670

Место издания: Иркутск

Издатель: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Иркутский государственный университет

Авторы

Вхождение в базы данных

Информация о публикациях загружается с сайта службы поддержки публикационной активности СФУ. Сообщите, если заметили неточности.

Вы можете отметить интересные фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.