Сибирский федеральный университет

Перевод названия: MULTIGRID FINITE ELEMENT METHOD IN STRESS ANALYSIS OF ELASTIC SOLIDS

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2016

Ключевые слова: микроподход, the micro approach, elasticity, composites, multigrid finite elements, small error, упругость, композиты, многосеточные конечные элементы, малая погрешность

Аннотация: Для анализа напряженного состояния упругих трехмерных (двумерных) тел при статическом нагружении предложен метод многосеточных конечных элементов, который реализуется на основе алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) с применением трехмерных (двумерных) многосеточных конечных элементов (МнКЭ), которые являются однородными или имеют неоднородную и микронеоднородную структуру. Отличие МнКЭ от существующих конечных элементов (КЭ) состоит в следующем. При построении -сеточного КЭ используется вложенных сеток. Мелкая сетка порождает базовое разбиение, которое учитывает неоднородную структуру и сложную форму МнКЭ, остальные крупные сетки применяются для понижения размерности МнКЭ, причем, с увеличением размерность МнКЭ уменьшается. Особенность и достоинство композитных МнКЭ состоят в следующем. При построении трехмерных (двумерных) композитных МнКЭ (без увеличения их размерности) используются сколь угодно мелкие базовые разбиения трехмерных (двумерных) тел, имеющих неоднородную структуру, т. е. по сути, используется микроподход в конечноэлементной форме. Такие разбиения позволяют учитывать в МнКЭ сложную неоднородную и микронеоднородную структуру, форму и описывать напряженное состояние уравнениями трехмерной (двумерной) теории упругости без введения дополнительных упрощающих гипотез. Для аппроксимации функций перемещений МнКЭ используются степенные и лагранжевые полиномы различных порядков и уравнения трехмерной (двумерной) задачи теории упругости, записанные в локальных декартовых системах координат. Полиномы Лагранжа эффективно применяются при построении МнКЭ пластинчатого и балочного типов. Краткая суть МнКЭ состоит в следующем. На базовом разбиении (на мелкой сетке) сеточного конечного элемента, полная потенциальная энергия представляется в виде функции многих переменных, которыми являются узловые перемещения мелкой сетки. На остальных крупных сетках (вложенных в мелкую сетку) определяются по алгоритмам МКЭ функции перемещений, которые используются для понижения размерности функции, что позволяет проектировать МнКЭ малой размерности. Изложены процедуры построения МнКЭ формы прямоугольного параллелепипеда, сложной формы, пластинчатого и балочного типов. Рассмотрены смешанные многосеточные дискретные модели, применяемые для расчета композитных тел сложной формы. Достоинства МнКЭ состоят в том, что образуют многосеточные дискретные модели трехмерных (двумерных) тел, размерность которых на несколько порядков меньше размерностей базовых моделей, порождают численные решения с высокой скоростью сходимости к точным решениям, что позволяет строить решения с малой погрешностью. Приведен расчет многослойной пластины с применением трехсеточных КЭ и базовой дискретной модели, имеющей 2,2 миллиарда узловых неизвестных МКЭ. To analyze the stress state of elastic homogeneous, heterogeneous and micro-inhomogeneous three-dimensional (two-dimensional) bodies under static loading, a multigrid finite element method implemented on the basis of algorithms of finite element method (FEM), using three-dimensional (two-dimensional) multigrid finite elements (MFE) of homogeneous, heterogeneous and microscopically inhomogeneous structure has been provided. Differences of MFE from the currently available finite elements (FE) are as follows. When building -grid FE, of nested grids is usedThe fine grid is used to take into account the irregular inhomogeneous structure and shape of MFE, the other large grids are applied to reduce MFE dimensionality, with MFE dimension decreasing when increasing. Peculiarities and advantages of the composite MFE are as follows. To develop composite MFE (without increasing their dimensions), arbitrarily small basic partitions of the solids having heterogeneous structure can be used, i.e. in fact, micro approach in finite element form is applied. These partitions allow one to take into account in MFE the complex heterogeneous and microscopically inhomogeneous structure and to describe the stress and stain state by the equations of three-dimensional elastic theory without any additional simplifying hypotheses. To approximate the MFE displacement functions, power-law and Lagrangian polynomials of various orders and the equations of three-dimensional problem of elasticity, written in local Cartesian coordinate systems are used. Lagrange polynomials are effectively applied in the construction of plate and beam MFE. The essence of MFE is as follows. At a basic partition (on the fine grid) of - grid FE, the total potential energy as a function of many variables depending on the fine grid nodal displacements has been determined. On the other coarse grids (enclosed in the fine one), the displacement functions used to reduce the dimension of the function that allows one to develop MFE of small dimension are found by MFE. The procedures of developing MFE of rectangular parallelepiped of irregular shape, plate and beam types are given. The mixed multigrid discrete models used to calculate the composite solids of irregular shape have been considered. MFE form the multigrid discrete models, whose dimensions are several orders of magnitude less than the ones of the basic models, generate computational solutions with a high rate of convergence to the exact solutions that allows one to find solutions with a small error. Calculating the laminated plate, using three-grid FEs and the reference model is given, with that having 2.2 milliards of FEM nodal unknowns.

Журнал: Информационные технологии и математическое моделирование в экономике, технике, экологии, образовании, педагогике и торговле

Выпуск журнала: № 9

Номера страниц: 51-68

Место издания: Красноярск

Издатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева

• Матвеев А.Д. (Институт вычислительного моделирования СО РАН)

• РИНЦ (eLIBRARY.RU)