Сибирский федеральный университет

Перевод названия: THE INTEGRATION ALGORITHM USING THE L-STABLE AND EXPLICIT METHODS

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2013

Ключевые слова: жесткая задача, (m, k)-схемы, stiff problems, k)-schemes, the Runge – Kutta method, Accuracy and stability control, методы Рунге – Кутта, контроль точности и устойчивости

Аннотация: Актуальность и цели. При моделировании кинетики химических реакций, расчете электронных схем и электрических сетей и других важных приложений возникает необходимость решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Материалы и методы. Для решения таких задач применяются L -устойчивые численные схемы. В таких методах при большой размерности системы дифференциальных уравнений основные вычислительные затраты приходятся на декомпозицию матрицы Якоби. Сокращения затрат достигают замораживанием матрицы Якоби, т.е. применением одной матрицы на нескольких шагах интегрирования. Дополнительного сокращения затрат добиваются за счет применения алгоритмов интегрирования на неоднородных схемах. В состав таких алгоритмов включаются явные и L -устойчивые методы. Эти алгоритмы сами распознают, является задача жесткой или нет. Эффективная численная схема выбирается на каждом шаге по критерию устойчивости. Здесь разработан неоднородный алгоритм интегрирования на основе L -устойчивого и явных двухстадийных методов. Построено неравенство для контроля устойчивости схемы Рунге – Кутта второго порядка точности. На основе стадий этого метода предложена численная формула первого порядка с расширенным до 8 интервалом устойчивости. На основе L -устойчивой (2,2)-схемы и численных формул типа Рунге – Кутта первого и второго порядков точности разработан алгоритм переменной структуры, в котором эффективный метод выбирается на каждом шаге по критерию устойчивости. При расчетах по L -устойчивому методу допускается замораживание матрицы Якоби, которая может вычисляться как аналитически, так и численно. Алгоритм предназначен для решения как жестких, так и нежестких задач. Результаты. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность построенного алгоритма. Background. When modeling the kinetics of chemical reactions, calculating electronic circuits and electrical networks and other critical applications there is a need to solve the Cauchy problem for stiff systems of ordinary differential equations. Materials and methods. To solve these problems L-stable numerical schemes are applied. In such methods basic computing costs fall on the decomposition of the Jacobi matrix due to high dimensionality of the differential equations system. Cost reduction is achieved by freezing the Jacobian matrix, i.e. using the same matrix in several integration steps. Additional cost savings are achieved by applying heterogeneous integration algorithms. The structure of such algorithms includes explicit and L-stable methods. These algorithms automatically recognize whether the problem is stiff or not. An efficient numerical scheme is chosen at each step according to a criterion of stability. The heterogeneous integration algorithm based on the L-stable and the explicit two-stage methods is constructed. The inequality for stability control of the second order Runge-Kutta scheme is constructed. The numerical formula of the first order with the extended up to 8 interval of stability based on stages of this method has been proposed. Based on the L-stable (2,2)-scheme and numerical formulas of the first and second orders of accuracy Runge – Kutta method, the algorithm of variable structure in which the most efficient method is chosen at each step according to the criterion of stability has been constructed. The Jacobi matrix freezing is allowed while using the L-stable method. Besides, the matrix can be calculated both analytically and numerically. The algorithm is designed for the solution of both stiff and non-stiff problems. Results. Numerical results confirm the efficiency of the algorithm.

Журнал: Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки

Выпуск журнала: № 3

Номера страниц: 58-69

ISSN журнала: 20723040

Место издания: Пенза

Издатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Пензенский государственный университет"

• Новиков Евгений Александрович (Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук)

• Ядро РИНЦ (eLIBRARY.RU)
• Список ВАК