Направления научного исследования

Научная школа профессора А.К. Циха «Интегральные методы в комплексном анализе и алгебраической геометрии»

Вычетные потоки как метод исследования аналитических множеств

Такие потоки являются важнейшими примерами потоков и распределений, т.е. функционалов на пространствах дифференциальных форм и функций. Они конструируются по уравнениям, задающим аналитические множества (Дольбо (Dolbeault), Эррера (Herrera), Цих, Ижер (Yger), и др.). В частности, вычетным потоком является поток интегрирования для аналитического множества, который содержит всю информацию о распределении множества. Общий вычетный поток кодирует множество с кратностями, т.е. он содержит информацию об идеале, порожденном определяющими функциями. Таким образом, вычетные потоки представляют собой весьма эффективный инструмент в алгебраической геометрии. Они тесно связаны с проблемой оценки числа операций в задаче вхождения полиномов в заданный идеал.

Вычеты и торическая геометрия

Глобальный вычет (полная сумма локальных вычетов Гротендика), ассоциированный с алгебраическим векторным полем и введенный еще Якоби, играет большую роль в теории сингулярностей аналитических множеств (А.Г. Хованский, А.Н. Варченко, K. Саито (K. Saito), А.П. Южаков, А.К. Цих и др.). Свойства глобального вычета особенно удачно проявляются при его рассмотрении в торических компактификациях. В этом случае Д. Кокс (D. Cox) предъявил для него специальную реализацию и назвал его торическим вычетом. В статьях А. Дикенштейн (A. Dickenstein), Э. Каттани (E. Cattani) и Б. Штурмфельса (B. Sturmfels) было замечено, что торический вычет тесно связан с А-дискриминантом, введенным в работах И.М. Гельфанда, А.В. Зелевинского и М.М. Капранова. Затем Е.Н. Матеровым и В.В. Батыревым, было обнаружено, что коэффициенты Тейлора для торического вычета, ассоциированного с рефлексивным полиэдром, содержат в себе важную информацию о зеркальной симметрии в теории суперструн.

Вычеты, асимптотики и разностные уравнения

Естественным вещественным аналогом вычета Лере является интеграл Гельфанда-Лере, который появляется при исследовании осциллирующих интегралов с аналитической фазой на предмет их асимптотического поведения и монодромии (Б. Мальгранж (B. Malgrange), А.Н. Варченко, Д. Барле (D. Barlet) и др.). В частности, такие интегралы могут выражать коэффициенты Лорана рациональных или мероморфных функций, или более общие функциональные объекты – решения многомерных линейных разностных уравнений. Эти функциональные объекты появляются при обработке сигналов в теории рекурсивных цифровых фильтров, математической статистике и т.д.

Интегральные формулы гомотопии

Все предыдущие направления теории многомерных вычетов связаны со специальными выборами контуров интегрирования в рассматриваемых вычетных интегралах. Классические формулы гомотопии (формула Лере-Коппельмана и др.) основаны на интегралах по областям и их границам. Многообразие таких формул достигается варьированием подынтегральных выражений в подходящем классе когомологий. Такие формулы имеют многочисленные применения в теории дифференциальных эллиптических комплексов (Н.Н. Тарханов, А.А. Шлапунов и др.), а также в проблематике аналитических продолжений функций и теории CR-функций (Г.М. Хенкин, Е.М. Чирка, А.М. Кытманов, С.Г. Мысливец, И.А. Антипова и др.).

Гипергеометрические ряды и интегралы

Теория гипергеометрических функций, заложенная в трудах Ф. Гаусса, Я. Горна (J. Horn), П. Аппеля (P. Appell), И.М. Гельфанда и др., имеет многочисленные применения в различных разделах математики и теоретической физики. С точки зрения рядов гипергеометрические функции представляют собой весьма конструктивный класс функций (О. Оре (O. Ore), М. Сато (M. Cato), А. Адольфсон (A. Adolphsson), Т.М. Садыков и др.), однако наиболее сложные свойства гипергеометрических функций, такие как их ветвление и асимптотики, могут быть описаны только с помощью интегральных представлений. Наиболее изученными являются представления типа Эйлера (И.М. Гельфанд, В.А. Васильев и др.). В настоящее время заслуживает интерес интегральное представление типа Меллина-Барнса (А.К. Цих, М. Пассаре).

Научная школа профессора А.К. Циха «Интегральные методы в комплексном анализе и алгебраической геометрии»

Вы можете отметить интересные фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.