Методы решения задач

Научная школа профессора А. К. Циха «Интегральные методы в комплексном анализе и алгебраической геометрии».

Для решения первой из перечисленных задач предполагается использовать упомянутый результат Александрова-Циха для полных пересечений и известный факт о том, что всякое неприводимое аналитическое множество, по крайней мере, локально является неприводимой компонентой полного пересечения.

Для второй задачи мы надеемся применить конструкцию вычетных ядер, ассоциированных с торическими многообразиями (А.В. Щуплев, УМН, 2005; A. Shchuplev, A. Tsikh, A. Yger, Proceedings of Steklov Institute, 2006), а также теорию ядра Мартинелли-Бохнера (монография А.М. Кытманова).

При исследовании задач 3 и 4 будут использоваться теория преобразования Меллина, а также метод разделяющих циклов, развитый в школе. Кроме того, важную роль должны сыграть результаты по теории амеб и двусторонняя лемма Абеля для гипергеометрических функций (M. Passare, T. Sadykov, A. Tsikh, Compositio Math. 2005; И.А. Антипова, Сиб. матем. журн. 2003).

Для решения задачи 5 предполагается использовать интегральное представление решения задачи Коши для многомерного разностного уравнения, позволяющее оценить асимптотическое поведение решения, а также свойства амеб характеристического множества уравнения и логарифмического отображения Гаусса этого множества.

И, наконец, исследование последней задачи предполагается провести на основе метода интегральных представлений типа Грина, метода аналитического продолжения и метода базисов с двойной ортогональностью.

Особое место в методологии занимает теория амеб. В математической терминологии слово «амеба» появилось сравнительно недавно в книге И.М. Гельфанда, М.М. Капранова и А.В. Зелевинского (1994). Амебой A алгебраического множества X из n-мерного комплексного пространства называется образ этого множества при логарифмическом проектировании (z1,...,zn) —> (log|z1|,...,log|zn|).

В одномерном случае множество X (как множество нулей полинома) является конечным, а потому амеба состоит из конечного числа точек на числовой прямой. В двумерном случае амеба комплексной алгебраической кривой представляет собой фигуру, уходящую на бесконечность тонкими щупальцами. Дополнение к амебе гиперповерхности состоит из конечного числа связных компонент, каждая из которых выпуклая.

Для амеб поверхностей коразмерности k > 1 картина более сложная: компоненты дополнения уже не выпуклые и здесь необходимо применять язык так называемой k-выпуклости. На рис. 1 показан общий вид амебы прямой в трехмерном пространстве в двух ракурсах.

Один из основных результатов учения об амебах гиперповерхностей составляет следующая теорема. Напомним, что многогранником Ньютона Nf полинома f от n переменных называется выпуклая оболочка в Rn. Конусом рецессии выпуклого множества Rn называется максимальный конус среди тех, которые сдвигом можно поместить в E.

Теорема (М. Форсберг, М. Пассаре, А.К. Цих). Существует естественная инъективная функция порядка v на множестве {E} связных компонент дополнения Rn\A амебы гиперповерхности f=0 , сопоставляющая каждой компоненте E некоторую целочисленную точку v(E) из многогранника Ньютона Nf. Конус рецессии компоненты E совпадает с конусом, двойственным к Nf в точке v(E).

Таким образом, многогранник Ньютона отражает структуру амебы. В частности, число связных компонент дополнения Rn\A не меньше числа вершин и не больше числа всех целых точек многогранника Ньютона Nf.

Дополнение к амебе, изображенной на рис. 2, состоит из четырех связных компонент, которые соответствуют точкам (0,0), (3,0), (0,3) и (1,1) из многогранника Ньютона кубического многочлена.

Приведенная теорема и понятие порядка компоненты v(E) стимулировали ряд исследований по вещественной алгебраической геометрии, в частности, по обобщенным неравенствам Гарнака—Гильберта (Г. Михалкин). Кроме того, она способствовала рассмотрению алгебраической геометрии над неархимедовыми полями (М. Капранов и др., 2006 г.) и новой версии тропической геометрии (В. Штурмфельс и др., 2006 г.).

Функция порядка v(E) тесно связана с так называемой функцией Иенсена-Ронкина J(x) , которая определена на пространстве переменных x , где «живет» амеба многочлена f. Эта функция выпуклая, причем она линейная на каждой связной компоненте E дополнения x = log(|z1|2+...+|zn|2), а градиент J на E равен порядку v(E). Таким образом, функция J(x) представляет собой новую версию обобщения функции Иенсена для изучения распределения нулей полинома f. В известной ранее теории распределений (В. Штоль (W. Stoll) и др.) вводился аналог одномерной функции Иенсена, как функции одного переменного . В нашем же случае функция зависит от - мерного вектора и постоянство ее градиента в окрестности точки повествует о том, что там нет корней полинома ! Тем самым в арсенале имеется новый аппарат для исследования распределений аналитических множеств.

Вы можете отметить интересные фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.